人教版高考文科数学一轮复习资料第七章基本不等式

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第4讲 基本不等式

一、知识梳理 1.基本不等式:ab≤

a+b

2

(1)基本不等式成立的条件:a≥0,b≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.

a+b(3)其中称为正数a,b的算术平均数,ab称为正数a,b的几何平均数.

2[点拨] 应用基本不等式求最值要注意:“一正、二定、三相等”.忽略某个条件,就会出错.

2.利用基本不等式求最值 已知x≥0,y≥0,则

(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2p.(简记:积定和最小)

s2

(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是.(简记:和定积最大)

4[点拨] 在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.

常用结论

几个重要的不等式

(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. a+b?(2)ab≤??2?(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. a2+b2?a+b?2(3)≥2?2?(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. ba

(4)+≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号. ab二、习题改编

1

2

1.(必修5P99例1(2)改编)设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为( ) A.80 C.81

2

2

B.77 D.82

x+y??18?

解析:选C.xy≤??2?=?2?=81,当且仅当x=y=9时等号成立,故选C. 2.(必修5P100A组T2改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是 .

解析:设矩形的长为x m,宽为y m,则x+y=10, 2

所以S=xy≤?x+y?2??=25,当且仅当x=y=5时取等号. 答案:25 m2

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=x+1

x的最小值是2.( )

(2)函数f(x)=cos x+

4

cos x

,x∈??0,π2??的最小值等于4. ( (3)“x>0且y>0”是“xy

y+x

≥2”的充要条件.( )

(4)不等式a2+b2≥2ab与a+b

2≥ab有相同的成立条件.( 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏

常见误区(1)忽视不等式成立的条件a>0且b>0; (2)忽视定值存在; (3)忽视等号成立的条件. 1.若x<0,则x+1

x( )

A.有最小值,且最小值为2 B.有最大值,且最大值为2 C.有最小值,且最小值为-2 D.有最大值,且最大值为-2

2

) )

1

解析:选D.因为x<0,所以-x>0,-x+≥21=2,当且仅当x=-1时,等号成立,

-x1

所以x+≤-2.

x

4

2.若x>1,则x+的最小值为 .

x-144

解析:x+=x-1++1≥4+1=5.

x-1x-14

当且仅当x-1=,即x=3时等号成立.

x-1答案:5

3.设0

解析:y=2x(1-x)≤2??2?=2. 1

当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立.

21答案:

2

利用基本不等式求最值(典例迁移) 角度一 通过配凑法求最值

(1)已知0

51

(2)已知x<,则f(x)=4x-2+的最大值为 .

44x-511?3x+(4-3x)?24

【解析】 (1)x(4-3x)=·(3x)(4-3x)≤·

33?2?=3, 当且仅当3x=4-3x, 2

即x=时,取等号.

35

(2)因为x<,所以5-4x>0,

4则f(x)=4x-2+-2

11

=-?5-4x+5-4x?+3≤

??4x-5

2

1

(5-4x)+3≤-2+3=1.

5-4x

1

当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立.

5-4x

3

故f(x)=4x-2+

1

的最大值为1. 4x-5

2

【答案】 (1) (2)1

3

通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:

(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形;

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标; (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 角度二 通过常数代换法求最值

11

1+??1+?的最小值为 . 已知a>0,b>0,a+b=1,则??a??b?11a+b??a+b?1+??1+?=?1+【解析】 ?= 1+?a??b??a??b?

?2+b?·?2+a?=5+2?b+a?≥5+4=9.当且仅当a=b=1时,取等号.

?a??b??ab?2

【答案】 9

11

【迁移探究1】 (变问法)若本例中的条件不变,则+的最小值为 .

ab解析:因为a>0,b>0,a+b=1, 11a+ba+bba所以+=+=2++≥2+2

ababab1

=b=时等号成立.

2

答案:4

111+??1+?【迁移探究2】 (变条件)若本例条件变为:已知a>0,b>0,4a+b=4,则??a??b?的最小值为 .

b

解析:由4a+b=4得a+=1,

4

ba11

·=4,即+的最小值为4,当且仅当aabab

?a+b??a+b?11?1+??1+?=?4??4?

?a??b?1+1+

?a??b?b5a

2+??+? =??4a??4b?

4

52a5b111=+++≥+22b16a441110答案:+

42

51110

=+.当且仅当42a=5b时取等号. 842

常数代换法求最值的步骤

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数); (2)把确定的定值(常数)变形为1;

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式; (4)利用基本不等式求解最值. 角度三 通过消元法求最值

若正数x,y满足x2+6xy-1=0,则x+2y的最小值是( )

22

A.

3C.3 3

B.2 3

23D.

3

?x>0,2??x>0,?1-x

【解析】 因为正数x,y满足x2+6xy-1=0,所以y=.由?即?1-x2解

6x?y>0,??>0,

?6x

1-x22x1

得0

3x33x=

222

时取等号.故x+2y的最小值为. 123【答案】 A

通过消元法求最值的方法

消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.但应注意保留元的范围.

1.(2020·辽宁大连第一次(3月)双基测试)已知正实数a,b满足a+b=(ab),则ab的最小值为( )

A.1 C.2

B.2 D.4

3

2

2x1222x12·=,当且仅当=,即x=,y33x333x2

5

解析:选C.(ab)=a+b≥2ab=2(ab),所以ab≥2,当且仅当a=b=2时取等号,故ab的最小值为2,故选C.

2.已知x,y为正实数,则5A. 33C. 2

4x3y

+的最小值为( ) x+3yx

10B. 3D.3

4xx+3y

·-1=x+3yx

3212

x+3y4x3y4x

解析:选D.由题意得x>0,y>0,+=+-1≥2

xx+3yxx+3y4-1=3(当且仅当x=3y时等号成立).

3.已知x>0,y>0,且x+16y=xy,则x+y的最小值为 . 解析:已知x>0,y>0,且x+16y=xy.

161?16116yx

+=16+1++≥17+2即+=1,则x+y=(x+y)??xy?xyxyx=4y=20时等号成立,

所以x+y的最小值为25. 答案:25

利用基本不等式解决实际问题(师生共研)

16yx

·=25,当且仅当xy

某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转

化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处1

理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80 000,且每

2处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损?

y180 000

【解】 (1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为=x+-

x2x200≥2

180 000x·-200=200, 2x

180 000当且仅当x=,即x=400时等号成立,故该单位月处理量为400吨时,才能使

2x每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元.

6

12

?(2)不获利.设该单位每月获利为S元,则S=100x-y=100x-??2x-200x+80 000?=11

-x2+300x-80 000=-(x-300)2-35 000,因为x∈[400,600],所以S∈[-80 000,-2240 000].

故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损.

应用基本不等式解决实际问题的基本步骤

(1)理解题意,设出变量,建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题; (2)在定义域内,利用基本不等式求出函数的最值; (3)还原为实际问题,写出答案.

某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池,池的

深度为1米,池的四周墙壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计),则泳池的长设计为多少米时,可使总造价最低.

200200200

2x+2×?+100×+解:设泳池的长为x米,则宽为米,总造价f(x)=400×?x??xx225

x+?+12 000≥1 60060×200=800×?x??

225225

x·+12 000=36 000(元),当且仅当x=xx

(x>0),即x=15时等号成立.即泳池的长设计为15米时,可使总造价最低.

[基础题组练]

1

1.(2020·安徽省六校联考)若正实数x,y满足x+y=2,则的最小值为( )

xyA.1 C.3

B.2 D.4

解析:选A.因为正实数x,y满足x+y=2, (x+y)222

所以xy≤==1,

441

所以≥1.

xy

2.下列选项中,正确的是( ) 1

A.x+的最小值为2

x

7

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