人教版高考文科数学一轮复习资料选修-不等式的证明

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第2讲 不等式的证明

一、知识梳理 1.基本不等式

定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. a+b

定理2:如果a,b为正数,则≥ab,当且仅当a=b时,等号成立.

2

a+b+c3定理3:如果a,b,c为正数,则≥abc,当且仅当a=b=c时,等号成立.

3定理4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1,a2,…,an为n个正数,则a1+a2+…+ann

≥ a1a2…an,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.

n

2.不等式的证明方法

证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等. 常用结论

基本不等式及其推广

1.a2≥0(a∈R).

2.(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有

a2+b2≥2ab,

?a+b?≥ab,a2+b2≥1(a+b)2.

2?2?2

a+bba

3.若a,b为正实数,则≥ab.特别地,+≥2.

2ab4.a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 二、教材衍化 求证:3+7<2+6. 证明:3+7<2+6 ?(3+7)2<(2+6)2 ?10+221<10+46

1

?21<26?21<24.故原不等式成立.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( )

(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法,它是从已知条件出发,经过逐步推理,最后达到待证的结论.( )

(3)使用反证法时,“反设”不能作为推理的条件应用.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× 二、易错纠偏

常见误区不等式放缩不当致错.

已知三个互不相等的正数a,b,c满足abc=1.试证明: 111a+b+c<++.

abc

证明:因为a,b,c>0,且互不相等,abc=1,所以a+b+c=111111+++

bcacab111111<++=++,即a+b+c<++. 222abcabc

用综合法、分析法证明不等式(师生共研)

(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明: 111

(1)++≤a2+b2+c2; abc(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

证明:(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca111

ab+bc+ca==++.当且仅当a=b=c=1时,等号成立.

abcabc

111

所以++≤a2+b2+c2.

abc

(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有

1+bc

1+ac

1ab

2

3

(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)3(b+c)3(a+c)3 =3(a+b)(b+c)(a+c) ≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)

=24.当且仅当a=b=c=1时,等号成立. 所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

用综合法证明不等式是“由因导果”,用分析法证明不等式是“执果索因”,它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、条理清楚,所以在实际应用时,往往用分析法找思路,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相互转化,互相渗透,互为前提.充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野.

1.若

a,b∈R,ab>0,a2+b2=1.求证:

a3b3

+≥1. ba

a3b3a4+b4(a2+b2)2-2a2b21证明:+===-2ab.

baababab因为a2+b2=1≥2ab,当且仅当a=b时等号成立, 1

所以0

2

11

令h(t)=-2t,0

t2

11

则h(t)在(0,]上递减,所以h(t)≥h()=1.

2211

所以当0

2aba3b3

所以+≥1.

ba

2.(一题多解)(2020·宿州市质量检测)已知不等式|2x+1|+|2x-1|<4的解集为M. (1)求集合M;

(2)设实数a∈M,b?M,证明:|ab|+1≤|a|+|b|.

11解:(1)当x<-时,不等式化为-2x-1+1-2x<4,即x>-1,所以-1

2211

当-≤x≤时,不等式化为2x+1-2x+1<4,

22即2<4, 11所以-≤x≤;

22

3

1

当x>时,不等式化为2x+1+2x-1<4,即x<1,

21

所以

2

综上可知,M={x|-1

(2)法一:因为a∈M,b?M,所以|a|<1,|b|≥1. 而|ab|+1-(|a|+|b|) =|ab|+1-|a|-|b| =(|a|-1)(|b|-1)≤0, 所以|ab|+1≤|a|+|b|. 法二:要证|ab|+1≤|a|+|b|, 只需证|a||b|+1-|a|-|b|≤0, 只需证(|a|-1)(|b|-1)≤0,

因为a∈M,b?M,所以|a|<1,|b|≥1, 所以(|a|-1)(|b|-1)≤0成立. 所以|ab|+1≤|a|+|b|成立.

放缩法证明不等式(师生共研)

|a+b||a||b|

若a,b∈R,求证:≤+.

1+|a+b|1+|a|1+|b|【证明】 当|a+b|=0时,不等式显然成立. 当|a+b|≠0时, 由0<|a+b|≤|a|+|b|?

11≥, |a+b||a|+|b|

|a+b|11所以=≤

111+|a+b|

+11+|a+b||a|+|b|=+

|a|+|b||a||b||a|=+≤

1+|a|+|b|1+|a|+|b|1+|a|+|b|1+|a||b|

. 1+|b|

在不等式的证明中,“放”和“缩”是常用的推证技巧.常见的放缩变换有: 1111121(1)变换分式的分子和分母,如2<,2>,<,>kk(k-1)kk(k+1)kkk+k-1

4

2k+k+1

上面不等式中k∈N+,k>1.

(2)利用函数的单调性.

aa+m

(3)真分数性质“若0<a<b,m>0,则<”.

bb+m

[注意] 在用放缩法证明不等式时,“放”和“缩”均需把握一个度.

1111

设n是正整数,求证:≤++…+<1.

2n+1n+22n

111

证明: 由2n≥n+k>n(k=1,2,…,n),得≤<.

2nn+kn111

当k=1时,≤<;

2nn+1n111

当k=2时,≤<;

2nn+2n…

111

当k=n时,≤<,

2nn+nn

1n111n所以=≤++…+<=1.

22nn+1n+22nn所以原不等式成立.

反证法证明不等式(师生共研)

1 设0

4111

【证明】 设(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>,

4441

三式相乘得(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>,①

64又因为0

(1-a)+a?1

所以0<(1-a)a≤?2??=4. 11同理:(1-b)b≤,(1-c)c≤,

44

1

以上三式相乘得(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤,与①矛盾.

641

所以(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同时大于.

4

2

5

利用反证法证明问题的一般步骤

(1)否定原结论.

(2)从假设出发,导出矛盾. (3)证明原命题正确.

已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a,b,c>0.

证明:①设a<0,因为abc>0, 所以bc<0.

又由a+b+c>0,则b+c>-a>0,

所以ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0,与题设矛盾. ②若a=0,则与abc>0矛盾, 所以必有a>0. 同理可证:b>0,c>0. 综上可证a,b,c>0.

[基础题组练]

11

1.设a>0,b>0,若3是3a与3b的等比中项,求证:+≥4.

ab证明:由3是3a与3b的等比中项得 3a·3b=3,

即a+b=1,要证原不等式成立,

a+ba+bba只需证+≥4成立,即证+≥2成立,

abab因为a>0,b>0, ba

所以+≥2

ab

ba·=2, ab

ba1

(当且仅当=,即a=b=时,“=”成立),

ab211

所以+≥4.

ab

1111

2.求证:2+2+2+…+2<2.

123n1111

证明:因为2<=-,

nn(n-1)n-1n

6

11111111所以2+2+2+…+2<1++++…+

123n1×22×33×4(n-1)×n111111

-?=2-<2. 1-?+?-?+…+?=1+??2??23?n?n-1n?3.(2020·蚌埠一模)已知函数f(x)=|x|+|x-3|. (1)解关于x的不等式f(x)-5≥x;

(2)设m,n∈{y|y=f(x)},试比较mn+4与2(m+n)的大小.

3-2x,x<0,?????x<0,?0≤x≤3,

?3,0≤x≤3,解:(1)f(x)=|x|+|x-3|=?f(x)-5≥x,即或?或??3-2x≥x+53≥x+5????2x-3,x>3.

??x>3,2

?解得x≤-或x∈?或x≥8.

3??2x-3≥x+5,

2

-∞,-?∪[8,+∞). 所以不等式的解集为?3??(2)由(1)易知f(x)≥3,所以m≥3,n≥3.

由于2(m+n)-(mn+4)=2m-mn+2n-4=(m-2)(2-n). 且m≥3,n≥3,所以m-2>0,2-n<0, 即(m-2)(2-n)<0, 所以2(m+n)

4.(2020·开封市定位考试)已知函数f(x)=|x-1|+|x-m|(m>1),若f(x)>4的解集是{x|x<0或x>4}.

(1)求m的值;

111m

(2)若正实数a,b,c满足++=,求证:a+2b+3c≥9.

a2b3c3-2x+m+1,x<1??

解:(1)因为m>1,所以f(x)=?m-1,1≤x≤m,

??2x-m-1,x>m作出函数f(x)的图象如图所示,

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