人教版高考文科数学一轮复习资料第九章圆锥曲线中的证明、范围(最值)问题

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第8讲 圆锥曲线的综合问题

一、知识梳理

1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定

(1)代数法:把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y,整理得到关于x的方程ax2+bx+c=0.

方程ax2+bx+c=0的解 b=0 a=0 b≠0 无解(含l是双曲线的渐近线) 有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行) 两个不相等的解 两个相等的解 无实数解 l与C1的交点 无公共点 一个交点 两个交点 一个交点 无交点 Δ>0 a≠0 Δ=0 Δ<0 (2)几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线,利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系.

2.直线与圆锥曲线的相交弦长问题

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|=1+k2|x1-x2|

=1+k2(x1+x2)2-4x1x2 ==

11+2|y1-y2| k

11+2(y1+y2)2-4y1y2. k

常用结论

圆锥曲线以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表:

圆锥曲线方程 x2y2椭圆:2+2=1(a>b>0) ab直线斜率 b2x0k=-2 ay0 1

x2y2双曲线:2-2=1(a>0,b>0) ab抛物线:y2=2px(p>0) 二、习题改编

b2x0k=2 ay0pk= y0(选修1-1P62例5改编)过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有( )

A.1条 C.3条

B.2条 D.4条

解析:选C.结合图形分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0).

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)直线l与抛物线y2=2px只有一个公共点,则l与抛物线相切.( ) (2)直线y=kx(k≠0)与双曲线x2-y2=1一定相交.( )

(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点.( ) (4)直线与椭圆只有一个交点?直线与椭圆相切.( ) x22

(5)过点(2,4)的直线与椭圆+y=1只有一条切线.( )

4答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 二、易错纠偏

常见误区(1)没有发现直线过定点,导致运算量偏大; (2)不会用函数法解最值问题.

x2y2

1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为( )

94A.相交 C.相离

B.相切 D.不确定

解析:选A.直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.

2.抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为( ) A.2 C.22

72B.

852D.

6

2

|x-y-2||-x2+x-2|

解析:选B.设抛物线上一点的坐标为(x,y),则d===

22

?-?x-1?-7?

??2?4?

2

2

172

所以x=时,dmin=.

28

第1课时 圆锥曲线中的证明、范围(最值)问题

证明问题(师生共研)

x2y2 (2018·高考全国卷Ⅲ节选)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B

43

两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).

1

(1)证明:k<-;

2

→→→→→→

(2)设F为C的右焦点,P为C上的点,且FP+FA+FB=0.证明:|FA|,|FP|,|FB|成等差数列.

2

x2y2x2y2112

【证明】 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.

4343

y1-y2x1+x2y1+y2

两式相减,并由=k得+·k=0.

43x1-x2x1+x2y1+y23

由题设知=1,=m,于是k=-.

224m31

由题设得0

22

(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则

(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).

由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0. 又点P在C上,

33→3

1,-?,|FP|=. 所以m=,从而P?2??42→

于是|FA|=(x1-1)2+y21=x2→

同理|FB|=2-.

2

1→→

所以|FA|+|FB|=4-(x1+x2)=3.

2

(x1-1)2+3

?1-x1?=2-x1. ?4?2

2 3

→→→→→→

故2|FP|=|FA|+|FB|,即|FA|,|FP|,|FB|成等差数列.

圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广,但无论证明什么,其常用方法有直接法和转化法,对于转化法,先是对已知条件进行化简,根据化简后的情况,将证明的问题转化为另一问题.

x2y2

(2020·江西七校第一次联考)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)经过点

ab

M?1,

?

22?,其离心率为,设直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点.

22?(1)求椭圆C的方程;

2

(2)已知直线l与圆x2+y2=相切,求证:OA⊥OB(O为坐标原点).

3c2

解:(1)因为e==,a2=b2+c2,

a2所以a2=2b2,

x2y2

所以椭圆C的方程为2+2=1.

2bb因为?1,

?

2?在椭圆上, 2?11

所以2+2=1,b2=1,a2=2,

2b2bx22

所以椭圆C的方程为+y=1.

2

2

(2)证明:因为直线l与圆x2+y2=相切,

3所以

|m|6

=, 1+k23

??y=kx+m,??x2+2y2=2

即3m2-2k2-2=0,由?

得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),

2m2-24km

则x1+x2=-,xx=,

1+2k2121+2k2所以

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

m2-2k2

1+2k2

2m2-2m2-2k23m2-2k2-2→→

所以OA·OB=x1x2+y1y2=+==0,

1+2k21+2k21+2k2所以OA⊥OB.

4

范围问题(师生共研)

已知曲线M由抛物线x2=-y及抛物线x2=4y组成,直线l:y=kx-3(k>0)与曲

线M有m(m∈N)个共同点.

(1)若m≥3,求k的最小值;

|AB|

(2)若m=4,自上而下记这4个交点分别为A,B,C,D,求的取值范围.

|CD|【解】 (1)联立x2=-y与y=kx-3,得x2+kx-3=0, 因为Δ1=k2+12>0,

所以l与抛物线x2=-y恒有两个交点. 联立x2=4y与y=kx-3,得x2-4kx+12=0. 因为m≥3,所以Δ2=16k2-48≥0. 因为k>0,所以k≥3, 所以k的最小值为3.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),

则A,B两点在抛物线x2=4y上,C,D两点在抛物线x2=-y上,

因为x1+x2=4k,x1x2=12,x3+x4=-k,x3x4=-3,且Δ2=16k2-48>0,k>0, 所以k>3.

所以|AB|=1+k2·(4k)2-48,|CD|=1+k2·k2+12, (4k)2-48|AB|

所以=

|CD|k2+12=4

k2-3

=4k2+12

1-

15

. k2+12

15

所以k>3,所以0<2<1,

k+12|AB|所以∈(0,4).

|CD|

求解圆锥曲线中有关参数的取值范围问题,关键是构建与参数有关的不等关系,主要方法有:

(1)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;

(2)建立已知参数与未知参数之间的等量关系,利用已知参数的范围,求新参数的范围; (3)利用隐含的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;

(4)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等式,从而确定参数的取值范围; (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参

5

数的取值范围.

y22

若直线l与椭圆+x=1交于不同的两点M,N,如果线段MN被直线

9

2x+1=0平分,求直线l的斜率的取值范围.

11

解:因为直线x=-与x轴垂直,且由已知得直线l与直线x=-相交,所以直线l

22不可能与x轴垂直.

设直线l的方程为y=kx+m,

??y=kx+m,

由?22得(k2+9)x2+2kmx+m2-9=0. ?9x+y=9,?

Δ=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0,即m2-k2-9<0,

-2km设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2.

k+9

x1+x2

因为线段MN被直线2x+1=0平分,所以2×+1=0,

2即

-2km

+1=0. k2+9

m2-k2-9<0,??k2+9?2?由?-2km得-(k2+9)<0,

2k??+1=0,??k2+9因为

k2+9>0,所以

k2+9

-1<0,即k2>3, 24k

解得k>3或k<-3.

所以直线l的斜率的取值范围为(-∞,-3)∪(3,+∞).

最值问题(师生共研)

x2y2

已知椭圆M:2+=1(a>0)的一个焦点为F(-1,0),左、右顶点分别为A,B.

a3

经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.

(1)当直线l的倾斜角为45°时,求线段CD的长;

(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值. 【解】 (1)由题意,c=1,b2=3, 所以a2=4,

x2y2

所以椭圆M的方程为+=1,

43

xy??4+3=1,

易求直线方程为y=x+1,联立方程,得?

??y=x+1,

6

2

2

消去y,得7x2+8x-8=0,Δ=288>0,

88

设C(x1,y1),D(x2,y2),x1+x2=-,x1x2=-,

7724

所以|CD|=2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=.

7(2)当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=-1, 此时△ABD与△ABC面积相等,|S1-S2|=0;

当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x+1)(k≠0), xy??4+3=1,

联立方程,得?

??y=k(x+1),

消去y,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0, 4k2-128k2

Δ>0,且x1+x2=-,xx=,

3+4k2123+4k2

12|k|

此时|S1-S2|=2||y2|-|y1||=2|y2+y1|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x1+x2)+2k|=,因

3+4k2

为k≠0,上式=

123

+4|k||k|

≤2

12123

==3?当且仅当k=±时等号成立?,

2??3212

·4|k||k|

2

2

所以|S1-S2|的最大值为3.

圆锥曲线中的最值问题常涉及不等式、函数的值域问题,总体上主要有两种方法: (1)几何法

利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解. (2)代数法

把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数解析式,然后利用函数的思想、不等式的思想等进行求解.

(2020·河北省九校第二次联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,

若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N两点,且|MN|=8.

(1)求抛物线C的方程;

→→

(2)设直线l为抛物线C的切线,且l∥MN,P为l上一点,求PM·PN的最小值. p?p

,0,则直线MN的方程为y=x-, 解:(1)由题意可知F??2?2代入

y2=2px(p>0)得

x2-3px+

p2

=0, 4

设M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1+x2=3p,

7

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